森の踏切番日記

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『非線形科学』メモ(1)

詩仙堂のししおどしと

カルマン渦列と

ローレンツ・アトラクタ

 

🐱ここでは、『非線形科学』(蔵本由紀著:集英社新書)を読んで、気になった人物や語句をメモしておく。

 


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Shiva Nataraja

 

 

第一章:崩壊と創造

パウル・グランスドルフとイリア・プリゴジンによる Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations 『構造・安定性・ゆらぎ──その熱力学的理論──』(1971)/シヴァ神/崩壊と創造

◾「エネルギーの散逸」と「自己組織化」/プリゴジン散逸構造

◾熱力学的第一法則(エネルギー保存の法則)/熱力学第二法則エントロピー増大の法則)/ボルツマン/統計力学/熱平衡/不可逆過程

◾自然の「能動因」=自然の活動性の根拠=「すべてのものを熱平衡へと駆り立てる熱力学的な力」/

エントロピーがたえず外部世界に排出し続ける限り駆動力は維持され、システムは平衡から離れた状態を保つことができます。そこに生じるさまざまな形や運動を、プリゴジン散逸構造と名づけたのです。

◾熱平衡の世界の多様性/相転移

◾潜んだ駆動力/準平衡の状態

非平衡開放系/ポテンシャル勾配/散逸/熱機関/迂回路(起伏構造)/詩仙堂ししおどし/振り子時計/

「外部世界に開かれており、かつ熱平衡状態から引き離された状態」にある「システムを非平衡開放系」と呼ぶ。

非平衡開放系の自己組織化現象

 


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ししおどし(出典元不明) 

 

 

◾開放系としての地球/

地球はエネルギーとエントロピーの入り口と出口をもち、生成される分だけのエントロピーを排出しています。そうすることで、全体として定常性を保っている非平衡開放系です。

 


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第二章:力学的自然像

◾自然の対流と実験室の対流/熱対流(味噌汁、大気の大循環、マントル対流)/流動現象/ナヴィエ・ストークス方程式/カルマン渦列/アンリ・ベナール/1901年/伝導状態/ロール構造

 


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済州島に生じた雲のカルマン渦列。右が南。

(出典元はusa.gov。既に削除されている)

 

 

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重力場におけるベナール・セル

上下の温度差がある限界値を超えると、流動が始まる。

※出典:Wikipedia(EyrianCon-struct)

 

 

◾運動法則と状態空間/時間発展/発展方程式➡「各時刻における状態の変化速度がその時刻での状態自身によって与えられる」微分方程式力学系/自由度

◾決定論とゆらぎ/統計力学/思考の転換/カタストロフィー理論/ルネ・トム/『構造安定性と形態形成』(1972)/「散逸力学系の分岐現象」/

分岐とカタストロフィーはほぼ同義語で、パラメーターの値を連続的に変化させたとき、力学系の振る舞いが突如変化する現象をそのように呼びます。

/勾配力学系

◾定常解(時間が経ってもまったく変化しない特別解)/非平衡定常状態=流体力学方程式の定常解=力学変数(流れの速さ)が時間的に一定ということ/周期運動➡時間周期解(振動解)/非周期的な運動(カオス運動)/定常解の安定性

◾線形理論/レイリー卿/1916年/線形安定性理論/レイリー・ベナール対流(暖まった流体の浮力によって引き起こされる熱対流現象)/臨界温度

非線形科学の二つのアプローチ/コンピュータ・シミュレーション/シミュレーションは理論そのものは与えない/ローレンツ・モデル/三次元力学系で近似/決定論的

◾散逸力学系非平衡開放系の力学モデル)/ローレンツ・モデルは典型的な散逸力学系/保存力学系エントロピー生成をともなわない)➡空気抵抗のない振り子の運動など/散逸力学系は初期状態によらずに「しかるべきところに落ち着く」➡アトラクター/時間が十分経てば、体積は実質的にゼロになる➡その最終的な運動状態がアトラクターに対応/定常状態➡一点に収縮/振動状態(周期運動)➡閉じたループ(閉軌道)/カオス運動➡カオス・アトラクター(ストレンジ・アトラクター)/準周期運動➡トーラス➡二次元運動/閉軌道=安定なリミット・サイクル/その上の周期的な運動=リミット・サイクル振動

◾分岐現象/座屈/相転移ローレンツ・モデルの分岐:伝導状態(定常解)➡対流状態(定常解)➡カオス状態/分岐パラメーター=分岐を引き起こす制御パラメーター/ホップ分岐=定常状態から振動状態への分岐/構造安定性/「定性的に同一」/分岐理論/第三のアプローチ/縮約理論

ローレンツ・モデルは不規則運動を示す熱対流モデル

 

 

🔘ローレンツ・モデル

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三次元の状態空間の座標(x, y, z)

そこを通過する状態点の速度(dx/dt, dy/dt, dz/dt)

σ=10,b=8/3 に固定する。

r≦1のとき、伝導状態は安定。

r=1を超えると、不安定化し、新しい定常解(対流状態)が現れる。r=24.75までは安定。

r=24.75を超えると、突然、カオス状態が出現する。

 

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ローレンツ・アトラクタ(r=28)

※出典:Wikipedia(Wikimol, Dschwen)

 

 

 

📄ローレンツ・アトラクタ(YouTube

(遠藤理平)

 

 

📄カルマン渦列(YouTube

(GD Tec Belgium )

 

(pyoco02)

 

 

📄詩仙堂のししおどし・夏(YouTube

(da Vinci break) 

 

📄詩仙堂のししおどし・秋(YouTube

(hellohellostudio)